Масштаб в математике

Что такое численный масштаб

Юлия козакова

Копипаста:
МАСШТАБ ЧИСЛЕННЫЙ — отношение расстояния между двумя точками на плане, карте, чертеже к расстоянию между этими же точками на местности, в натуре. Так, масштаб 1/1000 означает, что все расстояния на местности уменьшены на плане в 1000 раз; иначе — 1 см на плане соответствует 10 м на местности. На картах и планах для удобства пользования или вместо указания численного масштаба обычно наносят так называемый линейный масштаб, представляющий собой прямую линию, на которой отложена несколько раз определенная длина (основание масштаба) , соответствующая определенному расстоянию на местности, напр. 10 м, чему в нашем примере соответствует длина на карте в 1 см.
Самойлов К. И. Морской словарь. — М. -Л. : Государственное Военно-морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941

Сколько это стоит и сколько времени занимает?

Стоимость топосъёмки складывается из нескольких параметров:

• размеры и форма участка. На участках сложной формы требуется больше поворотных точек. Они позволяют установить точные границы.
• его доступности. Быстрее и точнее делать измерения из одной точки, а растения, деревья и дома и постройки затрудняют это и увеличивают затраты
• плотности застройки. Работа в застроенной промышленной зоне с густой растительностью занимает больше времени и поэтому стоит дороже
• рельефа. На ровной местности работы занимают меньше времени и стоят дешевле
• удалённости от Москвы
• масштаба. Чем крупнее масштаб, тем сложнее подготовка и выше стоимость работ геодезиста.

Как сэкономить? Топографические работы в сезон с апреля по ноябрь стоят дешевле. Возможно, на вашем участке не требуется составлять техническое задание и получать разрешение. В итоге это снижает стоимость работ и время выполнения.

В среднем все работы наших геодезистов занимают 3-7 дней.

В таблице вы увидите примерные цены на топографическую съёмку.

Цены на топографическую съёмку

Когда речь идёт о топографических планах для коммуникаций и подземных объектов, требуется получить разрешение, согласование и подтверждение на выполнение работ.

Относится к телефонным линиям, газовым и электросетям, канализации.

Характеристики весов

В этой главе рассматриваются масштабы раскрытия информации , то есть особая маркировка различных типов шкалы на картографическом документе. Синонимом этого является форма шкалы .

Как числовой критерий

Комбинация общей сегодня числовой и графической информации о масштабе (карта USGS )

Масштаб теперь выражается в виде пропорции или, реже, в виде дроби . Числовая спецификация, с которой мы знакомы сегодня, вошла в обиход только в начале 19 века и получила признание во всем мире с начала 20 века

В дополнение к заголовку карты, числовые масштабы являются наиболее важной особенностью карты и поэтому обычно размещаются на видном месте, будь то сразу после названия карты, будь то крупным шрифтом рядом с легендой или четко видимым на краю карты. .

Круглые шкалы в основном используются в картографии, потому что с ними легче производить расчеты. Иногда, например, из-за недостатка места, карты публикуются на листе карты или с неметрической системой измерения в некруглом масштабе (примеры: карта города Цюриха 1: 12 600; топографическая карта Великобритании 1: 63 360, соответствующая до 6  дюймов на 1  милю ).

В случае виража моделей и профилей рельефа масштаб можно задать двумя способами:

• Спецификация шкалы длины и высоты: «Масштаб длины 1: 5000, шкалы высоты 1: 2500».
• Указание масштаба длины и коэффициента виража: «Масштаб 1: 5000, вдвое больше виража».

Масштаб площади дан, например, в виде «1 квадратный сантиметр соответствует 6000 квадратных километров». В случае глобусов диаметр часто просто указывается.

В качестве графического теста

Помимо числового масштаба, на краю карты часто указывается графический масштаб, так называемая масштабная линейка . Старые карты могут иметь до двадцати масштабных полос для различных систем измерения, например, для немецких, географических и морских миль , часов или Leugen .

В случае конформных карт мира, на которых масштаб увеличивается согласно закону, например, от экватора к полюсам, также можно найти масштабные диаграммы. Это не что иное, как масштабные линейки в форме пирамиды, которые, однако, в отличие от масштабных линейок на старых картах, пронумерованы в одной единице.

В качестве варианта графических масштабов атласы иногда также содержат квадраты с информацией о местности или сравнительную карту известной страны на краю карты (например, контур Швейцарии на карте Азии того же масштаба).

Эталон цифровых данных

Точки, хранящиеся в цифровой географической информационной системе (ГИС) в виде «числовых столбцов», изначально не масштабируются.

Если эти векторные данные поступают непосредственно из обзора земной поверхности, например, их теоретически можно использовать независимо от масштаба. Если, однако, они векторизованы с бумажной карты, т.е. уже были заранее обобщены , их следует визуализировать только в относительно узком диапазоне масштабов. Тогда нет смысла, например, считывать координаты с точностью до ближайшего метра (даже если это технически возможно).

В случае растровых данных, полученных из векторных данных или отсканированных с бумажных карт (например, Top50 Немецкого управления землеустройства на компакт-диске), стандарты, обычно приводимые в документации по продукту, следует понимать только как указание на справочную карту. используется в качестве основы данных, поскольку при увеличении масштаба карты на экране можно изменить масштаб. Выход шкала или экран шкала может соответствующим образом быть отличаются от масштаба базы данных или оцифровки шкалы . Как правило, на экране отображается числовая или графическая шкала, изменяющаяся при увеличении.

В случае предварительно обработанных цифровых карт, которые выводятся в виде мозаичной сетки, вместо масштаба указывается уровень масштабирования , который не связывает изображенные маршруты с реальными маршрутами, а скорее указывает «уровень сетки» соответствующих плиток. по отношению к окружности земли.

Как определить крутизну скатов по шкале заложений топографической карты.

Обычно для определения крутизны скатов на полях топографической карты помещается чертеж — шкала заложений. Вдоль нижнего основания этой шкалы указаны цифры, которые обозначают крутизну скатов в градусах. На перпендикулярах к основанию отложены соответствующие величины заложений в масштабе карты.

В левой части шкала заложений построена для основной высоты сечения, в правой — при пятикратной высоте сечения. Для определения крутизны ската, например, между точками а-в, надо взять циркулем это расстояние и отложить на шкале заложений и прочитать крутизну ската — 3,5 градуса.

Если же требуется определятькрутизну ската между горизонталями утолщенными n-m, то это расстояние надо отложить на правой шкале и крутизна ската в данном случае будет равна 10 градусов.

Характеристики весов

В этой главе рассматриваются масштабы раскрытия информации , то есть особая маркировка различных типов шкалы на картографическом документе. Синонимом этого является форма шкалы .

Как числовой критерий

Комбинация общей сегодня числовой и графической информации о масштабе (карта USGS )

Масштаб теперь выражается в виде пропорции или, реже, в виде дроби . Числовая спецификация, с которой мы знакомы сегодня, вошла в обиход только в начале 19 века и получила признание во всем мире с начала 20 века

В дополнение к заголовку карты, числовые масштабы являются наиболее важной особенностью карты и поэтому обычно размещаются на видном месте, будь то сразу после названия карты, будь то крупным шрифтом рядом с легендой или четко видимым на краю карты. .

Круглые шкалы в основном используются в картографии, потому что с ними легче производить расчеты. Иногда, например, из-за недостатка места, карты публикуются на листе карты или с неметрической системой измерения в некруглом масштабе (примеры: карта города Цюриха 1: 12 600; топографическая карта Великобритании 1: 63 360, соответствующая до 6  дюймов на 1  милю ).

В случае виража моделей и профилей рельефа масштаб можно задать двумя способами:

• Спецификация шкалы длины и высоты: «Масштаб длины 1: 5000, шкалы высоты 1: 2500».
• Указание масштаба длины и коэффициента виража: «Масштаб 1: 5000, вдвое больше виража».

Масштаб площади дан, например, в виде «1 квадратный сантиметр соответствует 6000 квадратных километров». В случае глобусов диаметр часто просто указывается.

В качестве графического теста

Помимо числового масштаба, на краю карты часто указывается графический масштаб, так называемая масштабная линейка . Старые карты могут иметь до двадцати масштабных полос для различных систем измерения, например, для немецких, географических и морских миль , часов или Leugen .

В случае конформных карт мира, на которых масштаб увеличивается согласно закону, например, от экватора к полюсам, также можно найти масштабные диаграммы. Это не что иное, как масштабные линейки в форме пирамиды, которые, однако, в отличие от масштабных линейок на старых картах, пронумерованы в одной единице.

В качестве варианта графических масштабов атласы иногда также содержат квадраты с информацией о местности или сравнительную карту известной страны на краю карты (например, контур Швейцарии на карте Азии того же масштаба).

Эталон цифровых данных

Точки, хранящиеся в цифровой географической информационной системе (ГИС) в виде «числовых столбцов», изначально не масштабируются.

Если эти векторные данные поступают непосредственно из обзора земной поверхности, например, их теоретически можно использовать независимо от масштаба. Если, однако, они векторизованы с бумажной карты, т.е. уже были заранее обобщены , их следует визуализировать только в относительно узком диапазоне масштабов. Тогда нет смысла, например, считывать координаты с точностью до ближайшего метра (даже если это технически возможно).

В случае растровых данных, полученных из векторных данных или отсканированных с бумажных карт (например, Top50 Немецкого управления землеустройства на компакт-диске), стандарты, обычно приводимые в документации по продукту, следует понимать только как указание на справочную карту. используется в качестве основы данных, поскольку при увеличении масштаба карты на экране можно изменить масштаб. Выход шкала или экран шкала может соответствующим образом быть отличаются от масштаба базы данных или оцифровки шкалы . Как правило, на экране отображается числовая или графическая шкала, изменяющаяся при увеличении.

В случае предварительно обработанных цифровых карт, которые выводятся в виде мозаичной сетки, вместо масштаба указывается уровень масштабирования , который не связывает изображенные маршруты с реальными маршрутами, а скорее указывает «уровень сетки» соответствующих плиток. по отношению к окружности земли.

Переведите численные масштабы 1:5000 1:15000 и 1:1500000 в соответствующий численный масштаб

Денис тар

0,0002 — и пошло-поехало для любого масштаба. Это — как обыкновенная дробь: можно смело брать калькулятор и делить. Единица в числителе — это как истинная величина предмета, а знаменатель — показывает во сколько раз Модель этого предмета меньше своего оригинала — и в противоположную сторону. Т. е., меряешь 1 см на карте, умножаешь на 5000 — и получаешь 5000 см размер оригинала объекта, т. е. 1см=0,01м — 50 метров (сравнимо с шириной двух подъездов в доме).

The visitor from the past

Все гораздо проще чем вы думаете. Берете допустим первый масштаб. В обоих частях выражения должны сначала быть одни и те же единицы измерения. То есть 1 см (на карте): 5000 см (на местности) или 1 м (на карте): 5000 м (на местности). Ну а дальше приводите к виду, который вам больше по душе. Взять например 1 см (на карте): 15000 см (на местности). Далее правую часть приводите к тому виду, который вам нужен или нравится — 15000 см это 150 м или 0,15 км. То есть имеем 1 см (на карте) : 150 м (на местности) или 1 см (на карте) : 0,15 км (на местности). Дерзайте и обрящете. Удачи и успехов!!!

Точность топографических планов

Масштаб говорит нам о том насколько подробным может быть план, но точность топографического плана самостоятельная характеристика. Она показывает насколько точно по бумажному плану мы можем определить координаты объекта.

Согласно определению, точность топографического плана — это средняя погрешность определения положения объекта на плане относительно ближайших пунктов государственной геодезической сети (ГГС).

Например, в Москве и области преобладает равнинный рельеф, для такого рельефа обычно пользуются точностью 0,5мм, что означает, что по бумажному плану расстояние можно измерить с точностью в полмиллиметра (считается что человеческий глаз различает такую величину). А вот какая получится погрешность на местности зависит уже от масштаба плана. Для масштаба 1:1000 — погрешность составит 0,5 метра, а для масштаба 1:2000 уже 1 метр. Поэтому чем больше масштаб, тем выше требования к точности измерений.

Если мы говорим о погрешности цифровой модели местности, то здесь погрешность регламентируется нормативными актами для разных масштабов топосъемки.

Если вы сомневаетесь в выборе параметров топосъемки – обратитесь к специалистам «TOPO.SU», мы поможем вам выбрать оптимальные параметры для решения ваших задач. Ниже мы приводим списки основных масштабов и варианты их назначения:

Определение стандарта

основа

Обязательным условием масштаба картографического документа является система измерений и измерения . Опорной областью обычно является земной эллипсоид , то есть естественный маршрут — это не самое короткое соединение между двумя точками на земной поверхности, а всегда расстояние, приведенное к уровню моря (см. Геодезическую линию или ортодромию ).

Масштаб обычно задается в виде 1: номер шкалы. Значения рассчитываются следующим образом:

шкалазнак равноКарта маршрутаЕстественный маршрут{\ displaystyle {\ text {scale}} = {\ frac {\ text {карта маршрута}} {\ text {естественный маршрут}}}}

Номер шкалызнак равноЕстественный маршрутКарта маршрута{\ displaystyle {\ text {число масштаба}} = {\ frac {\ text {естественный маршрут}} {\ text {карта маршрута}}}}

Конечно, для получения правильного результата обе длины должны быть в одной и той же единице измерения. Например, если маршрут карты имеет длину 1 см в масштабе 1:50 000 (читай: один из пятидесяти тысяч), тогда естественный маршрут будет иметь длину 50 000 см, то есть длину 0,5 км.

Поскольку масштаб обычно относится к коэффициенту линейного уменьшения, если не указано иное, при сравнении площадей номер шкалы должен быть возведен в квадрат . Таким образом, изображение квадратного километра в масштабе 1: 50 000 занимает только четверть поверхности бумаги в масштабе 1: 100 000.

Карты трекинга и походов также создаются в масштабе, который изображает прилегающую территорию трекинга, как национальный парк. Например, национальный парк Оуланка с его медвежьим кольцом масштаба 1:40 000.

Крупные и мелкие масштабы

В зависимости от богатства содержания и уровня детализации карт различают крупный , средний и мелкий масштабы . Прилагательные «большой» и «маленький» относятся к размеру объекта на карте, а не к числу в масштабе. Эти термины часто путают, если не учитывать разницу между масштабом и количеством мер. Поэтому для крупномасштабной карты масштабное число будет маленьким, и наоборот. Например, карта 1:25 000 имеет больший масштаб (содержимое отображается крупнее или подробнее), чем карта 1: 100 000. (Для этой цели вы также можете интерпретировать масштаб как дробь: 1/25 000 больше 1/100 000.)

То, что называют большим или малым масштабом, относительно и во многом зависит от предмета или состояния. Например, для инженерной геологии карта 1: 200 000 уже считается мелкой, для географа — только обзорной картой примерно 1: 2 000 000. В большой стране, такой как Россия, 1: 200 000 все еще может считаться большим масштабом, в то время как в небольшой стране, такой как Швейцария, это уже считается малым масштабом.

Все масштабы можно сгруппировать в диапазоны масштабов , которые характеризуются эквивалентными или очень похожими степенями детализации рисунка и содержания. Пример: большие масштабы, такие как 1:20 000, 1:25 000 и 1: 30 000, обеспечивают сопоставимый уровень детализации. Поэтому картографические органы выпускают свои серии карт в сериях масштабов , последующие масштабы которых находятся в простой взаимосвязи друг с другом и поэтому могут быть легко сопоставлены. Во многих странах диапазон шкалы простирается от 1: 5000 до 1: 1 000 000 как наименьший масштаб.

Базы карт сохраняются в исходном масштабе (включая исходный масштаб или масштаб записи ). Это может быть больше или равно рабочему масштабу (также масштабу обработки ). Это, в свою очередь, может быть больше или равно окончательному масштабу, в котором в конечном итоге появляется картографический документ.

Минимальный масштаб, необходимый для восприятия объекта, называется пороговым масштабом .

Решение задач на масштаб

Для закрепления темы решим несколько математических задач на масштаб за 6 класс.

Пример 1. Длина отрезка на карте равна 8 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты равен 1 : 10 000.

Как решаем:

8 см — это 1 часть

8 * 10 000 = 80 000 (см) — это 10 000 частей

80 000 см = 800 м

Ответ: 800 м

Пример 2. Расстояние между двумя городами 400 км. Найти длину отрезка, который соединяет эти города на карте, выполненный в масштабе 1:5000000.

Как решаем:

400 км = 400 000 м = 40 000 000 см

40000000 : 5000000 = 40 : 5 = 8

Ответ: 8 см

Пример 3. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по прямой составляет примерно 635 км. По автотрассе протяженность маршрута 700 км. Во сколько раз надо уменьшить это расстояние, чтобы его можно было изобразить в виде отрезка длиной в 14 см?

Как решаем:

700 км = 700 000 м = 70 000 000 см

70 000 000 : 14 = 5 000 000

Ответ: уменьшить в 5 000 000 раз.